Định lý Bayes thường cũng thường được viết dưới dạng

P ( B ) = P ( A , B ) + P ( A C , B ) = P ( B | A ) P ( A ) + P ( B | A C ) P ( A C ) {\displaystyle P(B)=P(A,B)+P(A^{C},B)=P(B|A)P(A)+P(B|A^{C})P(A^{C})\,}

hay

P ( A | B ) = P ( B | A ) P ( A ) P ( B | A ) P ( A ) + P ( B | A C ) P ( A C ) , {\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|A^{C})P(A^{C})}}\,,}

trong đó AC là biến cố bù của biến cố A (thường được gọi là "không A"). Tổng quát hơn, với {Ai} tạo thành một phân hoạch của không gian các biến cố,

P ( A i | B ) = P ( B | A i ) P ( A i ) ∑ j P ( B | A j ) P ( A j ) , {\displaystyle P(A_{i}|B)={\frac {P(B|A_{i})P(A_{i})}{\sum _{j}P(B|A_{j})P(A_{j})}}\,,}

với mọi Ai trong phân hoạch.

Công thức này còn được biết dưới tên công thức xác suất đầy đủ.

Định lý Bayes với hàm mật độ xác suất

Cũng có một dạng của định lý Bayes cho các phân bố liên tục. Đối với chúng, thay cho các xác suất trong định lý Bayes ta dùng hàm mật độ xác suất. Như vậy ta có các công thức tương tự định nghĩa xác suất điều kiện:

f ( x | y ) = f ( y | x ) f ( x ) f ( y ) {\displaystyle f(x|y)={\frac {f(y|x)\,f(x)}{f(y)}}}

và công thức tương tự công thức xác suất đầy đủ:

f ( x | y ) = f ( y | x ) f ( x ) ∫ − ∞ ∞ f ( y | x ′ ) f ( x ′ ) d x ′ . {\displaystyle f(x|y)={\frac {f(y|x)\,f(x)}{\int _{-\infty }^{\infty }f(y|x')\,f(x')\,dx'}}.}

Ý nghĩa của các thành phần trong các công thức trên làf(x, y) là mật độ phân phối của phân phối đồng thời của các biến ngẫu nhiên X và Y,f(x|y) là mật độ phân phối xác suất hậu nghiệm của X với điều kiện Y=y,f(y|x) = L(x|y) là (một hàm của x) hàm khả năng của X với điều kiện Y=y,và f(x) và f(y) là các mật độ phân phối của X và Y tách biệt nhau, với f(x) là mật độ phân phối tiền nghiệm của X.

Điều kiện mặc định trong các công thức là hàm f khả vi và các tích phân công thức tồn tại.

Ứng dụng của định lý Bayes thường dựa trên một giả thiết có tính triết học Bayesian probability ngầm định rằng độ bất định và kỳ vọng có thể tính toán được giống như là xác suất. Định lý Bayes được đặt theo tên của Reverend Thomas Bayes (1702—1761), người nghiên cứu cách tính một phân bố với tham số là một phân bố nhị phân. Người bạn của ông, Richard Price, chỉnh sửa và giới thiệu công trình năm 1763, sau khi Bayes mất, với tựa đề An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances. Pierre-Simon Laplace mở rộng kết quả trong bài luận năm 1774.